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By Skoruppa N.-P.

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New PDF release: Advances in Intelligent Data Analysis XII: 12th

This booklet constitutes the refereed convention complaints of the twelfth overseas convention on clever facts research, which was once held in October 2013 in London, united kingdom. The 36 revised complete papers including three invited papers have been conscientiously reviewed and chosen from eighty four submissions dealing with all types of modeling and research equipment, regardless of self-discipline.

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Zum Nachweis dieser Formel (und der k-maligen Differenzierbarkeit von g) wenden wir die Kettenregel an. Dazu schreiben wir g als g = f ◦γ, wo γ(t) = a + th ist. Als affine Abbildung ist γ differenzierbar. Es gilt Dγ(t) : R → X, u → uh. Nach der Kettenregel ist dann mit f auch g = f ◦ γ differenzierbar, und, wie wir gleich nachrechnen werden, findet man g = (Dh f ) ◦ γ. Da nun Dh f ∈ C (k−1) (U, R), ergibt die gleiche Formel auf Dh f an Stelle von f angewandt die Differenzierbarkeit von g und die Formel g = (Dh (Dh f ))◦ Satz von Taylor 56 H¨ ohere Ableitungen γ.

Zeige die Stetigkeit der Abbildung 1 C 0 ([0, 1]) → R, f→ f (x) dx 0 bez¨glich der Supremum-Norm. 3 Stetigkeit und kompakte Mengen Satz. Es sei f : X → Y eine stetige Abbildung zwischen metrischen R¨ aumen, und es sei X kompakt. Dann ist auch f (X) kompakt. ¨ Beweis. Zum Beweis betrachten wir eine Uberdeckung f (X) ⊆ Ui i∈I von X mit offenen Mengen Ui . Es ist zu zeigen, daß schon endlich viele der Uj den Raum X u ¨berdecken. Es ist jedenfalls f −1 (Ui ), X= i∈I und wegen der Stetigkeit von f ist jedes Urbild f −1 (Ui ) offen.

Oben haben wir schon gesehen, daß eine Funktion f : U → Rn , f = (f1 , . . , fn )t differenzierbar ist genau dann, wenn die Komponentenfuntionen fi es sind. Dies, zusammen mit dem vorstehenden Satz gibt ein allgemeines und einfach anzuwendendes Kriterium f¨ ur die totale Differenzierbarkeit von Abbildungen f : U → Rn mit U ⊂ Rm . 5 Die Kettenregel Zum Berechnen der Ableitung einer Funktion als auch zum Nachweis ihrer Existenz ben¨ otigt man einige Regeln. Eine haben wir im letzten Abschnitt gesehen, wo totale Differenzierbarkeit auf partielle Differenzierbarkeit zur¨ uckgef¨ uhrt wurde.

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Analysis 2 by Skoruppa N.-P.


by Thomas
4.3

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