Analysis II: Funktionen mehrerer Variablen by Friedmar Schulz PDF

By Friedmar Schulz

ISBN-10: 3486580175

ISBN-13: 9783486580174

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In allgemeinen topologischen Räumen sind kompakte Mengen notwendigerweise folgen-kompakt. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht. 1 Vorbemerkung. Sei D eine Punktmenge im Rn , n ≥ 1, mit typischem Punkt x = (x1 , . . , xn ). Wir betrachten reelle Funktionen, das heißt reellwertige Funktionen f ∶ D → R, x = (x1 , . . , xn ) ↦ y = f (x) = f (x1 , . . , xn ), von n reellen Variablen x1 , . . , xn mit dem Definitionsbereich D. Meist betrachten wir sogar gleich reelle Abbildungen f ∶ D → Rm , x = (x1 , .

Cm ) ∈ Rm Limes oder Grenzwert von f an der Stelle a, oder f (x) konvergiert gegen c für x → a, in Zeichen c = lim f (x) oder f (x) → c für x → a, x→a falls es zu jedem ε > 0 ein δ = δ (ε) > 0 gibt, so dass ∣f (x) − c∣ < ε für alle x ∈ D, ∣x − a∣ < δ, x ≠ a, das heißt f (x) ∈ Uε (c) ⊂ R beziehungsweise Rm für alle x ∈ D ∩ (Uδ (a) ∖ { a }) ⊂ Rn . 2 Bemerkungen. (i) Der Limes ist eindeutig bestimmt. (ii) Es ist nicht notwendig, aber zulässig, dass a ∈ D ist, in welchem Fall lim f (x) ≠ f (a) sein kann.

1 Funktionen und Abbildungen 31 für x = (x1 , . . , xn ) ∈ Rn . αn xα1 1 ⋅ . . ⋅ xαnn . Im Fall k = 2 gilt zum Beispiel n n i,j =1 i=1 P (x) = ∑ aij xi xj + ∑ bi xi + c. (vi) σk ∶ Rn → R, σk (x) ∶= ∑ 1≤i1 <⋯

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by William
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